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傅里叶变换中数字信号处理的重要方法之一是由法国数学家傅里叶在1807年发表于法国科学学会的一篇文章中提出的。本文用正弦函数来描述温度分布，并提出了一个著名的论断：任何连续的周期信号都可以由一组合适的正弦曲线组成。这一论断被当时研究该论文的著名数学家拉格朗日所否定。拉格朗日认为正弦函数不能组合成有棱角的信号。然而，从无限逼近的角度来看，正弦函数可以用来推动它非常接近不久的将来，直到在表示方法上没有明显的差异。这篇论文最终在拉格朗日去世15年后发表。

傅里叶变换的分类

根据信号是周期的、连续的还是离散的，扩展了傅里叶变换，变换分为以下四种类型

此外，根据使用实数还是复数，可以分为实数傅里叶变换和复数傅里叶变换。

主要特点：FS

用于分析连续周期信号。时域中的任意连续周期信号都可以分解为无穷多个正弦信号的和，在频域中表示为离散非周期信号，即时域中的连续周期对应于频域中的离散非周期特性。

主要特点：金融时报

主要用于分析连续的非周期信号。由于信号是非周期的，必然包含各种频率的信号，因此具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。

FS和FT都是连续信号谱的分析工具，它们都是由傅里叶级数理论导出的。时域中的连续信号在频域中是非周期的，但周期信号和非周期信号在频域中是离散和连续的。

主要特点：DTFT

用于离散非周期序列分析。根据连续傅里叶变换要求连续信号在时间上可积的充要条件，对于离散时间傅里叶变换，其上使用的离散序列也必须满足时间轴上级数求和收敛的条件。由于信号是非周期序列，必然包含各种频率的信号，所以经过DTFT变换的离散非周期信号的频谱是连续的，即离散非周期时域对应连续周期频域。

主要特点：DFT

假设序列的周期性是无限的，但区间(主值区间)在处理上受到限制，以满足有限长度的特性，这使得DFT具有周期性。另外，DFT只表示一个周期内有限个离散频率，因此在频率上是离散的，相当于对DTFT变换后的连续谱进行采样。此时采样频率等于序列扩展后的周期N，即主值序列数。

离散傅里叶变换

DFT是将一个信号从时域变换到频域，时域和频域都是离散的，因此可以确认一个信号上叠加了哪些正弦波，这些结果反映了正弦波的幅度和相位。至于时域和频域，前者代表信号随时间的动态变化。在这种分析模式下，信号往往会随着时间的推移而表现出不同的状态变化。频域可以理解为正弦波的振幅。从傅里叶的判断，我们知道任何周期函数都可能是不同振幅、不同相位、不同角频率的正弦波的叠加。频域分析的主要结果之一是频谱。有两种常见的频谱：振幅相关频谱和相位相关频谱。例如，正弦曲线可以表示为y=Asin(x ) k，具体的实际意义如下：

理解辅助：变形的调和函数

谐波是指频率是基波整数倍的电量。一般指周期非正弦电量经傅里叶级数分解产生的电量，其余大于基波频率。如下图所示，动态三角函数的图形变换可以加深对

至于如何计算频谱，由于三角函数是正交的，相互之间没有影响，根据这个特性和下图，我们可以对振幅的频谱有一个直观的了解。至于与初始相位相关的频谱，就不难理解了。

快速傅里叶变换

实际上，快速傅立叶变换只是对离散傅立叶变换的一种改进。1965年，库利和图基共同提出了一种快速的DFT计算方法。该方法充分利用了离散傅立叶变换计算的对称性和周期性，从而将离散傅立叶变换的计算量从N2减少到了N*log2N。当n较小时，FFT的优势不明显。但是，当n大于32时，点数越大，FFT在计算上的改善越明显。例如当n为1024时，FFT的运算效率比DFT高100倍。

应用领域和限制

傅里叶变换广泛应用于图像优化和音频降噪等领域。然而，由于傅里叶变换模型是基于平稳信号的，因此非平稳信号的分析具有很大的局部性。

摘要

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